P(B)
BAØI GIAÛI
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,7.0,2.0,5 = 0,07;
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,3.0,8.0,5 = 0,12;
P(A1A2A3) = P(A1)P(A32)P(A3) = 0,3.0,2.0,5 = 0,03.
Suy ra P(A) = 0,22.
) Goïi B laø bieán coá coù 2 khaåu truùng. Ta coù
CHÖÔNG 1
B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
NHÖÕNG ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN TRONG
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(B) = 0,47.
c) Goïi C laø bieán coá coù 3 khaåu truùng. Ta coù
LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁT
C = A1A2A3.
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(C) = 0,28.
Baøi 1.1: Coù ba khaåu suùng I, II vaø III baén ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu. Moãi
khaåu baén 1 vieân. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuaû ba khaåu I, II vaø III laàn
löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tính xaùc suaát ñeå
a) coù 1 khaåu baén truùng.
) coù 2 khaåu baén truùng.
c) coù 3 khaåu baén truùng.
d) ít nhaát 1 khaåu baén truùng.
e) khaåu thöù 2 baén truùng bieát raèng coù 2 khaåu truùng.
d) Goïi D laø bieán coá coù ít nhaát 1 khaåu truùng. Ta coù
D = A + B + C.
Chuù yù raèng do A, B, C xung khaéc töøng ñoâi, neân theo coâng thöùc Coäng xaùc
suaát ta coù:
P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97.
e) Gæa söû coù 2 khaåu truùng. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát
ñeå khaåu thöù 2 truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän
P(A2/B).
Theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù:
Toùm taét:
Khaåu suùng
Xaùc suaát truùng
I
0,7
Lôøi giaûi
IIù III
0,8 0,5
Suy ra
P(A2B) = P(B)P(A2/B)
P(A2/B) = P(A2B).
Goïi Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá khaåu thöù j baén truùng. Khi ñoù A1, A2, A3 ñoäc
laäp vaø giaû thieát cho ta:
P(A1) = 0,7; P(A1) = 0,3;
Maø A2B = A1A2A3 + A1A2A3 neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc
P(A2B)=0,4
Suy ra P(A2/B) =0,851.
P(A2) = 0,8;P(A2) = 0,2;
P(A3) = 0,5;P(A3) = 0,5.
Baøi 1.2: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 10 bi, trong ñoù hoäp I goàm 9 bi
ñoû, 1 bi traéng; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp
a) Goïi A laø bieán coá coù 1 khaåu truùng. Ta coù
2 bi.
A = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
Vì caùc bieán coá A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3 xung khaéc töøng ñoâi, neân
theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù
P(A) = P(A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3)
a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû.
) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng.
c) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
d) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi traéng
coù ñöôïc cuûa hoäp I.
= P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3)
Vì caùc bieán coá A1, A2, A3 ñoäc laäp neân theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta
coù
1
2
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
1 1
2
C
45
2 0
2
C
45
0 2
6
2
C
10
6 4
2
C
45
P(C)
2 0
2
C
45
9 15
36 15
Lôøi giaûi
B = A0B2 + A1B1 + A2B0
Do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá A0B2 , A1B1 , A2B0, coâng
Goïi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi ñoû vaø (2 - i) bi
thöùc Coäng xaùc suaát cho ta:
traéng coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II.
P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0)
Khi ñoù
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
- A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A0) = 0;
P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133.
P(A1) = C9C1 = 9 ;
10
c) Goïi C laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Ta coù:
C = A1B2 + A2B1.
Lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc
P(A2) = C9C1 = 36.
10
P(C) = P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933.
d) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá C ñaõ
- B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng coù ñöôïc thuoäc hoäp I trong tröôøng hôïp
P(B0) = C6C4 = 45;
P(B1) = C1C1 = 24;
10
naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/C). Theo Coâng thöùc nhaân xaùc
suaát , ta coù
P(A1C) = P(C)P(A1/C) .
Suy ra
P(A1/C) = P(A1C) .
- Ai
vaø
Bj
ñoäc laäp.
P(B2) = C6C4 = 15 .
10
Maø
A1C = A1B2 neân
P(A1C) = P(A1B2) = P(A1)P(B2) = 45.45 = 0,0667.
- Toång soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá
Bj theo baûng sau:
Ai
vaø
Do ñoù xaùc suaát caàn tìm laø:
P(A1/C) = 0,1352.
B0
B1
B2
Baøi 1.3: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn
A0
0
1
2
phaåm xaáu. Khaùch haøng kieåm tra baèng caùch laáy ra töøng saûn phaåm cho
A1
1
2
3
ñeán khi naøo ñöôïc 3 saûn phaåm toát thì döøng laïi.
A2
2
3
4
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3.
) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4.
a) Goïi A laø bieán coá
choïn ñöôïc 4 bi ñoû. Ta coù:
) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Tính xaùc suaát ñeå
A = A2 B2 .
ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng gaëp saûn phaåm xaáu.
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
P(A)
=
P(A2)P(B2)
= 45.45 = 0,2667.
Lôøi giaûi
Goïi Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc saûn phaåm toát, xaáu ôû laàn kieåm
tra thöù i.
a) Goïi A laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3. Ta coù:
) Goïi B laø bieán coá
choïn ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng. Ta coù:
3
4
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com



X D


A = T1T2T3.
Lôøi giaûi
Suy ra
P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2)
Goïi Di, Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc bi ñoû, bi traéng, bi xanh ôû
= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.
laàn ruùt thöù i.
) Goïi B laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Ta coù:
a) Goïi A laø bieán coá ruùt ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. Ta coù:
B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 .
Suy ra
P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 )
= P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3)
+ P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3)
+ P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.
T T X D
A xaûy ra Ruùt ñöôïc T X T D
X T T D
Suy ra
A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 )
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3)
c) Giaû söû
khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù
4. Khi ñoù bieán
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng
gaëp saûn phaåm xaáu trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän
P(X3/B).
P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát , ta coù
P(X3B) = P(B)P(X3/B) .
Suy ra
P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3)
= (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66.
P(X3/B)
=
P(X3B)
P(B)
.
Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455.
Maø
X3B = T1T2X3T4 neân
P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
) Goïi B laø bieán coá khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra. Ta coù:
= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952.
Suy ra P(X3/B) = 0,3333.
Baøi 1.4: Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 3 bi xanh coù cuøng côõ. Töø
D

B xaûy ra Ruùt ñöôïc X X D
X X X D
hoäp ta ruùt ngaãu nhieân khoâng hoøan laïi töøng bi moät cho ñeán khi ñöôïc bi ñoû
thì döøng laïi. Tính xaùc suaát ñeå
Suy ra
a) ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû.
B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4
) khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra.
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4)
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
5
6
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com